Aljabar Bagian I

PENDAHULUAN

         Aljabar adalah cabang matematika yang membantu dalam representasi masalah atau situasi dalam bentuk ekspresi matematika. Ini melibatkan variabel seperti x, y, z, dan operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian untuk membentuk ekspresi matematika yang bermakna. Semua cabang matematika seperti trigonometri, kalkulus, geometri koordinat, melibatkan penggunaan aljabar. Salah satu contoh sederhana dari ekspresi dalam aljabar adalah 2x + 4 = 8.

        Aljabar berkaitan dengan simbol dan simbol-simbol ini terkait satu sama lain dengan bantuan operator. Ini bukan hanya konsep matematika, tetapi keterampilan yang kita semua gunakan dalam kehidupan kita sehari-hari tanpa menyadarinya. Memahami aljabar sebagai konsep lebih penting daripada memecahkan persamaan dan menemukan jawaban yang benar, karena berguna dalam semua topik matematika lain yang akan Anda pelajari di masa depan atau Anda telah belajar di masa lalu.

Apa itu Aljabar?

        Aljabar adalah cabang matematika yang berhubungan dengan simbol dan operasi aritmatika di seluruh simbol-simbol ini. Simbol-simbol ini tidak memiliki nilai tetap dan disebut variabel. Dalam masalah kehidupan nyata kita, kita sering melihat nilai-nilai tertentu yang terus berubah. Tetapi ada kebutuhan konstan untuk mewakili nilai-nilai yang berubah ini. Di sini dalam aljabar, nilai-nilai ini sering diwakili dengan simbol-simbol seperti x, y, z, p, atau q maupun dengan simbol yang lain dan simbol-simbol ini disebut variabel. Selanjutnya, simbol-simbol ini dimanipulasi melalui berbagai operasi aritmatika penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dengan tujuan untuk menemukan nilai-nilai.

    Bentuk persamaan aljabar di atas terdiri dari variabel, operator, dan konstanta. Di sini angka 4 dan 28 adalah konstanta, x adalah variabel, dan operator aritmatika yaitu operasi penjumlahan.

Cabang Aljabar

    Kompleksitas aljabar disederhanakan dengan menggunakan berbagai ekspresi aljabar. Berdasarkan penggunaan dan kompleksitas ekspresi, aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam berbagai cabang yang tercantum di bawah ini:

• Pra-aljabar
• Aljabar Dasar
• Aljabar Abstrak
• Aljabar Universal

Pra-aljabar

    Cara dasar menyajikan nilai yang tidak diketahui sebagai variabel membantu menciptakan ekspresi matematika. Ini membantu dalam mengubah masalah kehidupan nyata menjadi ekspresi aljabar dalam matematika. Membentuk ekspresi matematis dari pernyataan masalah yang diberikan adalah bagian dari pra-aljabar.

Aljabar Dasar

Aljabar dasar berkaitan dengan pemecahan ekspresi aljabar untuk jawaban yang layak. Dalam aljabar elementer, variabel sederhana seperti x, y, diwakili dalam bentuk persamaan. Berdasarkan tingkat variabel, persamaan disebut persamaan linier, persamaan kuadrat, polinomial. Persamaan linier terdiri dari bentuk, ax + b = c, ax + oleh + c = 0, ax + oleh + cz + d = 0. Aljabar dasar berdasarkan tingkat variabel, bercabang menjadi persamaan kuadrat dan polinomial. Bentuk umum representasi persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, dan untuk persamaan polinomial, itu adalah axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ..... k = 0.

Aljabar Abstrak

    Aljabar abstrak berkaitan dengan penggunaan konsep abstrak seperti kelompok, cincin, vektor daripada sistem bilangan matematika sederhana. Cincin adalah tingkat abstraksi sederhana yang ditemukan dengan menulis sifat penambahan dan perkalian bersama-sama. Teori kelompok dan teori cincin adalah dua konsep penting dari aljabar abstrak. Aljabar abstrak menemukan banyak aplikasi dalam ilmu komputer, fisika, astronomi, dan menggunakan ruang vektor untuk mewakili kuantitas.

Aljabar Universal

    Semua bentuk matematika lainnya yang melibatkan trigonometri, kalkulus, geometri koordinat yang melibatkan ekspresi aljabar dapat dipertanggungjawabkan sebagai aljabar universal. Di seluruh topik ini, aljabar universal mempelajari ekspresi matematika dan tidak melibatkan studi model aljabar. Semua cabang aljabar lainnya dapat dianggap sebagai subset dari aljabar universal. Salah satu masalah kehidupan nyata dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu cabang matematika dan dapat diselesaikan dengan menggunakan aljabar abstrak.

Topik Aljabar

    Aljabar dibagi menjadi beberapa topik untuk membantu studi terperinci. Di sini, kami telah mencantumkan beberapa topik penting aljabar seperti ekspresi dan persamaan aljabar, urutan dan seri, eksponen, logaritma, dan set.

Persamaan Aljabar

    Persamaan aljabar dalam aljabar dibentuk menggunakan konstanta integer, variabel, dan operasi aritmatika dasar penambahan atau penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan pembagian (/). Contoh persamaan aljabar adalah 5x + 6. Di sini 5 dan 6 adalah angka tetap dan x adalah variabel. Selanjutnya, variabel dapat berupa variabel sederhana menggunakan alfabet seperti x, y, z atau dapat memiliki variabel kompleks seperti x², x³, x n, xⁿ, xy, x²y, dll. Persamaan aljabar juga dikenal sebagai polinomial. Polinomial adalah persamaan aljabar yang terdiri dari variabel (juga disebut indeterminates), koefisien, dan eksponen integer non-negatif dari variabel. 

Contoh: 5x³ + 4x² + 7x + 2 = 0.

    Persamaan adalah pernyataan matematika dengan simbol 'sama dengan' antara dua ekspresi aljabar yang memiliki nilai yang sama. Diberikan di bawah ini adalah berbagai jenis persamaan, berdasarkan tingkat variabel, di mana kita menerapkan konsep aljabar:

• Persamaan Linear: Persamaan linier membantu dalam mewakili hubungan antara variabel seperti x, y, z, dan dinyatakan dalam eksponen satu derajat. Dalam persamaan linier ini, kita menggunakan aljabar, mulai dari dasar-dasar seperti penambahan dan pengurangan ekspresi aljabar.
• Persamaan kuadrat: Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, c adalah konstanta dan x adalah variabel. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan disebut solusi persamaan, dan persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua solusi.
• Persamaan Kubik: Persamaan aljabar yang memiliki variabel dengan daya 3 disebut sebagai persamaan kubik. Bentuk umum dari persamaan kubik adalah ax³ + bx² + cx + d = 0. Persamaan kubik memiliki banyak aplikasi dalam kalkulus dan geometri tiga dimensi (Geometri 3D).

Urutan dan Seri

    Satu set angka yang memiliki hubungan di seluruh angka disebut urutan. Urutan adalah seperangkat angka yang memiliki hubungan matematis yang sama antara angka, dan seri adalah jumlah dari istilah urutan. Dalam matematika, kita memiliki dua urutan angka yang luas dan seri dalam bentuk perkembangan aritmatika dan perkembangan geometris. Beberapa seri ini terbatas dan beberapa seri tidak terbatas. Kedua seri ini juga disebut perkembangan aritmatika dan perkembangan geometris dan dapat direpresentasikan sebagai berikut.

• Perkembangan Aritmatika: Progresi Aritmatika (AP) adalah jenis perkembangan khusus di mana perbedaan antara dua istilah berturut-turut selalu konstan. Istilah dari seri perkembangan aritmatika adalah a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d, .....
• Perkembangan Geometris: Setiap perkembangan di mana rasio istilah yang berdekatan tetap adalah Perkembangan Geometris. Bentuk umum representasi dari urutan geometris adalah a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, .....

Eksponen

    Eksponen adalah operasi matematika, ditulis sebagaiⁿ. Di sini ungkapan^{a n} melibatkan dua angka, basis 'a' dan eksponen atau kekuatan 'n'. Eksponen digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar. Pada bagian ini, kita akan belajar secara rinci tentang eksponen termasuk kotak, kubus, akar kuadrat, dan akar kubus. Nama-nama tersebut didasarkan pada kekuatan eksponen ini. Eksponen dapat diwakili dalam bentuk aⁿ = × × × ... n kali.

Logaritma

    Logaritma adalah fungsi terbalik untuk eksponen dalam aljabar. Logaritma adalah cara yang nyaman untuk menyederhanakan ekspresi aljabar besar. Bentuk eksponensial yang direpresentasikan sebagai^x = n dapat diubah menjadi bentuk logaritmik sebagai log.

${}_{\mathrm{sebuah}}$

n = x. John Napier menemukan konsep Logaritma pada tahun 1614. Logaritma sekarang telah menjadi bagian integral dari matematika modern.

Set

    Satu set adalah kumpulan objek yang berbeda dan digunakan dengan baik untuk mewakili variabel aljabar. Tujuan menggunakan set adalah untuk mewakili pengumpulan objek yang relevan dalam kelompok. Contoh: Set A = {2, 4, 6, 8}.......... (Satu set angka genap), Set B = {a, e, i, o, u}...... (Satu set vokal).

Rumus Aljabar

Identitas aljabar adalah persamaan yang selalu benar terlepas dari nilai yang ditetapkan ke variabel. Identitas berarti bahwa sisi kiri persamaan identik dengan sisi kanan, untuk semua nilai variabel. Rumus ini melibatkan kotak dan kubus ekspresi aljabar dan membantu dalam memecahkan ekspresi aljabar dalam beberapa langkah cepat. Rumus aljabar yang sering digunakan tercantum di bawah ini.

• (a + b) ² = a² + 2ab + b²
• (a - b) ² = a² - 2ab + b²
• (a + b) (a - b) = a² - b²
• (a + b + c) ² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
• (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a - b) ³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Mari kita lihat penerapan rumus-rumus ini dalam aljabar menggunakan contoh berikut,

Contoh: Menggunakan rumus (a + b) ² dalam aljabar, temukan nilai (101)².

Larutan:

Diberikan: (101)² = (100 + 1)²

Menggunakan rumus aljabar (a + b)² = a² + 2ab + b², kita memiliki,

(100 + 1)² = (100)² + 2(1)(100) + (1)²

(101)² = 10201

Untuk rumus lebih lanjut, periksa halaman rumus aljabar, yang berisi rumus untuk perluasan ekspresi aljabar, eksponen, dan rumus logaritmik.

Operasi Aljabar

Operasi dasar yang tercakup dalam aljabar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

• Penambahan: Untuk operasi penambahan dalam aljabar, dua atau lebih ekspresi dipisahkan oleh tanda plus (+) di antara mereka.
• Pengurangan: Untuk operasi pengurangan dalam aljabar, dua atau lebih ekspresi dipisahkan oleh tanda minus (-) di antara mereka.
• Perkalian: Untuk operasi perkalian dalam aljabar, dua atau lebih ekspresi dipisahkan oleh tanda perkalian (×) di antara mereka.
• Divisi: Untuk operasi pembagian dalam aljabar, dua atau lebih ekspresi dipisahkan oleh tanda "/" di antara mereka.

Aturan Dasar dan Sifat Aljabar

Aturan dasar atau sifat aljabar untuk variabel, ekspresi aljabar, atau bilangan real a, b dan c adalah seperti yang diberikan di bawah ini,

• Properti Komutatif Penambahan: a + b = b + a
• Properti Komutatif Perkalian: a × b = b × a
• Properti Asosiatif Penambahan: a + (b + c) = (a + b) + c
• Properti Asosiatif Perkalian: × (b × c) = (a × b) × c
• Properti Distributif: a × (b + c) = (a × b) + (a × c), atau, × (b - c) = (a × b) - (a × c)
• Timbal balik: Timbal balik dari a = 1 / a
• Properti Identitas Aditif: a + 0 = 0 + a = a
• Properti Identitas Perkalian: × 1 = 1 × a = a
• Terbalik Aditif: a + (-a) = 0

sumber:

www.cuemath.com